これを幾何学を使って証明したい。 各辺の大きさ1の立方体を図の様に積んでいく。 本当はn番目の図で考えたいが図を描くのも考えるのも面倒なのでn=3の場合の図で考え、n番目でも同様に考えられるか確認する。 この図の体積はの値と等しい。なぜなら上から高…

幾何学の話ではありません。許してください。みつけつけたから書きたくなってしまったのです。 今から例を挙げます。みんな電卓用意。本当にその値になるか確かめましょう。 ※式１。 三倍角の公式使えばざっくり示せます。 ※式２。 nは正。 bは、大抵の数字…

その直線 と 点の距離dは である。 見た目がきれいでそこそこ便利な公式である。 何も考えずに証明しようとすると煩雑な計算でやる気がなくなるので何かしらの工夫が必要である。 証明 直線 と 点 の距離をdとして、その両方をｘ軸方向に、ｙ軸方向に平行移…

漸化式、で 則、 素晴らしい。計算には全く使えないが、見た目がいい。数学は見た目が楽しい。そして漸化式にｂを使ったのには特に理由はない。 証明 半径が１の円では、その円周は2πである。これを正2^n角形の円周によって近似する。 まず直径ABの円周上に…

3点P,O,QでPO+OQ=PQのときこの3点は同一直線上にある。 自明っぽいけどもやりたくなったので証明してみる。 証明 平面の直交座標で点P(a,b),点O(0,0),点Q(c,d)をとる。 この時直線PO;bx=ayと直線OQ;dx=cyが一致すればよいので b:a=d:c ad=bcを目指す。 この…

有名なアレである。これを幾何学を使って証明する。 証明 与式=S(n)とおく。 この時、1+2+3+.....+nを1+2・1+3・1+......+n・1 みたいなノリでそれぞれの項を１の塊として考えて１をそれぞれ正方形として考える。 そうしていい感じに正方形を積み重ねてみる…

三角形の3辺をa,b,cとし、2s=a+b+c、面積をSすると、 見た目がすばらしいですな。一つだけs単体なのが気になる人もおられると思いますが。これは、ブラーマグプタの公式をみれば納得すると思います。それは各自納得するか、いつか私自身で話をするか、他サイ…

何か、いい感じに角度をとると交わる。色の同じ角は同じです。 証明 BK=x,CH=a sinB,BH=a cosB,OP=h,BP=y,とおける。xを求めたい。 CH//OPなので△CHK∽△OPKより、 CH:OP=KH:KP a sinB:h=x-a cosB:y-x xh-ah cosB=ay sinB-ax sinB xh+ax sinB=ah cosB+ay sinB …

これである。え？これあだけに有りまじ、という方もいらっしゃると思います。しかし私は面倒なのでこれだけしか書きません。 え？幾何学に関係ありまじという人もいらっしゃると思います。幾何学を使って証明するので書きます。 証明 三角形ABCで、∠A=α、角B…

△ABC外接円の半径をRとすると、 かの有名な定理である。正弦法則ともいう。ペルシャのNasīr Eddīn Tūsī(1201~1274)の発見と言われているそうです。本当かどうかは知りません。読み方も分かりません。Google翻訳で直接入れたら ナシル・エディン・トゥシと出…

面積がSである△ABCで、AB=c、BC=a、CA=b、外接円の半径をRとすると、 ヒッパルコスさんは紀元前2世紀ごろの天文学者だそうです。ヒッパルコスの定理といってもいいでしょうが、見かけないですが栄誉を称え呼んでおきます。この定理はたまに使いたくなるので…

半径Rの円に内接する4辺がa,b,c,d,の四角形の外接円の半径は 2s=a+b+c+dとすると もしくは単に、 と表せる。 証明 使う道具は3つ。 トレミーの定理 菊池の定理(当ぶろぐが勝手に作った定理。) ブラーマグプタの公式 一つでも知らない方は調べましょう。 半径…

半径Rの円に内接する面積Sの四角形ABCDでAB=a、BC=b、CD=c、DA=d、AC=x、BD=yとすると。 はい、今回は私の発見した定理です。 諸注意。 一.左二辺x(ab+cd)=y(ad+cb)は既知のもので、調べれば出てきます。しかしながら何処を探しても外接円に関する記述がない…

円に内接する四角形ABCDでAB=a、BC=b、CD=c、DA=d、AC=x、BD=yとすると、 対辺の積の和は対角線の積に等しい。 とのことである。驚きである。中学時代にこの定理の存在を知り、嬉しくなったものである。証明しようと頑張りましたが当時の私には歯が立ちませ…

直角三角形の斜辺をc、他の二辺をa、bとすると、 青+黄=緑 ピタゴラスさんが見つけたという話であるが、どうにも信憑性は薄い。 でも定理なんて有名になったもん勝ちなので私は別になんでも構わないが、最初に見つけた人は恐らく悔しからむ。 中学生のときに…