パラメシュヴァーラの公式

半径Rの円に内接する4辺がa,b,c,d,の四角形の外接円の半径は

2s=a+b+c+dとすると

$R = \displaystyle\frac{1}{4} \sqrt{\displaystyle\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

もしくは単に、

$R = \sqrt { \displaystyle\frac{(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)}{(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)}}$

と表せる。

証明

使う道具は3つ。

トレミーの定理
菊池の定理(当ぶろぐが勝手に作った定理。)
ブラーマグプタの公式

一つでも知らない方は調べましょう。

半径Rの円に内接する面積Sの四角形ABCDでAB=a、BC=b、CD=c、DA=d、AC=x、BD=yとすると、

菊池の定理によれば、

$x(ab+cd)=y(ad+cb)=4RS$

左の項と右の項、真ん中の項と右の項をとり、2式を掛ける。

\begin{array}{rcccccc} &4RS &=&x(ab+cd) \\ × &4RS &=&y(ad+bc) \\ \hline &(4RS)^{2} &=&(ab+cd)(ad+cb)xy \end{array}

トレミーの定理によれば

$xy=ac+bd$

なので、

$(4RS)^{2} =(ab+cd)(ad+cb)(ac+bd)$

$4RS=\sqrt{(ab+cd)(ad+cb)(ac+bd)}$

$4R=\displaystyle\frac{\sqrt{(ab+cd)(ad+cb)(ac+bd)}}{S}$

2s=a+b+c+dとすると、ブラーマグプタの公式によれば、

$S= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

なので、

$4R=\displaystyle\frac{\sqrt{(ab+cd)(ad+cb)(ac+bd)}}{ \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

$4R =\sqrt{\displaystyle\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

∴ $R = \displaystyle\frac{1}{4} \sqrt{\displaystyle\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

∴ $R = \sqrt { \displaystyle\frac{(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)}{(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)}}$

これは示されるべきことであった。

この方法を英語の授業中に見つけたときには、興奮して受業に全然集中できませんでした。あまりに嬉しかったもんだから友人と家族に自慢をしました。

最初はうまい方法が思いつか無かったので、何も考えずに対角線の長さを求め、正弦を求め、半径を求めて、式を出しました。その式の中にブラーマグプタとトレミーがいるのをみて、これは、何かある!と思い、いろいろ式をいじくりまわしたところ、菊池の定理の発見に至り、上記のようなかっこいい方法を思いついたわけです。

この出し方が感動する理由は、式中の因数にきちんと意味があることですね。何も考えずに出したときに、なんで面積の公式が出てくるなかしら、と疑問に思っていました。意味があるのは嬉しいです。