ヴィエトの公式 - お幾何のお話

漸化式 $b_0=0$ 、 $b_{n+1}=\sqrt{2+b_n}$ で

$\dfrac{2}{\pi} =\displaystyle\prod_{n=1}^\infty \dfrac{b_n}{2}$

則、

$\dfrac{2}{\pi}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$

素晴らしい。計算には全く使えないが、見た目がいい。数学は見た目が楽しい。そして漸化式にｂを使ったのには特に理由はない。

証明

半径が１の円では、その円周は2πである。これを正2^n角形の円周によって近似する。

まず直径ABの円周上に点C,Dがあり、∠BOC＝∠CODである。OA=OB=OC=r、BD=a、BC=BD=bとしたとき、r、a、bの関係を調べる。

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△OACと△CBDで

∠BDC=∠CAO(円周角)

OA=OC、CB=CD(二等辺三角形)であるから、

∠CBD=∠OCA、よって

△OAC∽△CBD・・・①

三平方の定理より $AC=\sqrt{4r^2-b^2}$

①より

\begin{align}
AC:AO &= BD:DC \\
\sqrt{4r^2-b^2}:r &= a:b \\
ar &=b\cdot\sqrt{4r^2-b^2} \\
a^2r^2 &=4r^2b^2-b^4 \\
(b^2)^2- 4r^2(b^2)+a^2r^2&=0 \\
b^2 &=2r^2\pm\sqrt{4r^4-a^2r^2}
\end{align}

bは正なので

$b=\sqrt{2r^2\pm\sqrt{4r^4-a^2r^2}}$

せっかくなのでrでくくる？と

$b=r\cdot\sqrt{2-\sqrt{4-\displaystyle\left ( \frac{a}{r} \right )^2}}$

±が出てくる理由はACとBCの両方が二等分した時の弦と言えるから。

r=1とする。

$b=\sqrt{2-\sqrt{4-a^2}}$ ・・・②

半径１の円に内接する正四角形をかんがえると一辺は三平方の定理より√2、周の長さはは2^2√2、正八角形では②を使うと√(2-√(4-2))=√(2-√2)、周の長さは2^3√(2-√2)、正十六角形では②を使うと2^4√(2-√(2+√2))、同様に正2^n角形では2^n√(2-√(2+√(2+√(2+√(2+√(2...........(nは根号の数＋１)nを無限に近づけると半径１の円周、則、2πに収束するのでπは

$\pi=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^{n}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots\sqrt{2}}}}}}$ ・・・③

根号の中の符号は-+++++++で最初のみ-であとは+

と表せる。

nは根号の中の2の個数。また、根号の個数。もう少し正確に書けば、

$z_1=0$ 、 $z_{n+1}=\sqrt{2+z_n}$

$\pi=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\sqrt{2-z_n}$

次にどんどん２を変形していく。

\begin{align}
2
&=\left ( 2\sqrt{2}\right )\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
&=\left (2\cdot2\sqrt{2-\sqrt{2}}\right )\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
&=\left (2\cdot2\cdot2\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\right )\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{align}

..................(これを繰り返して順番を変える。)

$2=\left (\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^{n}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots\sqrt{2}}}}}}\right )\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$

括弧の中身のnは括弧の中の根号の数、もしくは２の数。

③より、

\begin{align}
2 &=\pi\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots \\
\dfrac{2}{\pi}&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots\\
\end{align}

証明終

ただただ、ビビらせるような雑な式変形をしたかった。

余談

$a^2r^2 =4r^2b^2-b^4$