お幾何のお話

点と直線の距離

その直線 $ax+by+c=0$ と点 $(x_0,y_0)$ の距離dは

$d=\dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

である。

見た目がきれいでそこそこ便利な公式である。

何も考えずに証明しようとすると煩雑な計算でやる気がなくなるので何かしらの工夫が必要である。

証明

直線 $ax+by+c=0$ と点 $(x_0,y_0)$ の距離をdとして、その両方をｘ軸方向に $-x_0$ 、ｙ軸方向に $-y_0$ 平行移動する。

$a(x-(-x_0))+b(y-(-y_0))+c=0$

$a(x+x_0)+b(y+y_0)+c=0$

$ax+by+ax_0+bx_0+c=0$

ここで、 $ax_0+by_0+c=t$ とすると、

$ax+by+t=0$ ・・・①

$(x_0,y_0)$ は原点 $(0,0)$ へ移動。

平行移動しても距離dは変化しない。

則、①と原点との距離を求めればよい。

円の方程式 $x^2+y^2=d^2$ は仮定より①と接する。

その接点を $(x_1,y_1)$ とする。

接線の方程式は

$x_1 x+y_1 y=d^2$

$x_1 x+y_1 y -d^2=0$ ・・・②

すると①と②は同じ直線を表している。

ここで①、②を各 $t$ 、 $-d^2$ でわると、

$\dfrac{a}{t}x+\dfrac{b}{t}y+1=0$

$\dfrac{x_1}{-d^2}x+\dfrac{y_1}{-d^2}y+1=0$

となり、後ろの１から係数比較ができる。

$\dfrac{a}{t}=\dfrac{x_1}{-d^2}$

$x_1=\dfrac{-d^2 a}{t}$

同様に $y_1=\dfrac{-d^2 b}{t}$

$(x_1,y_1)$ は方程式 $x^2+y^2=d^2$ 上にあるので

$x_1 ^2+y_1 ^2=d^2$ が成立。これより、

$d^2=\left (\dfrac{-d^2 a}{t}\right )^2+\left (\dfrac{-d^2 b}{t}\right )^2$

$d^2=\dfrac{t^2}{a^2+b^2}$

dは正で、 $t=ax_0+bx_0+c$ であるから、

$d=\dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

が示された。

やはり係数比較は素晴らしい。