Σk

\displaystyle\sum_{k=1}^nk=\dfrac{1}{2}n(n+1)

有名なアレである。これを幾何学を使って証明する。

証明

与式=S(n)とおく。

この時、1+2+3+.....+nを1+2・1+3・1+......+n・1

みたいなノリでそれぞれの項を１の塊として考えて１をそれぞれ正方形として考える。

そうしていい感じに正方形を積み重ねてみると

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こうなる。

正方形の一辺を1とすると面積は1なので正方形の個数を考えるということはこの図形の面積を考えるということと同意である。

面積を求めるためにいい感じに補助線を引く。

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こんな感じに分けられる。このときｎ番目では

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こんな感じ。で、見るとでかい三角形が一つ。あと真っ二つにされた正方形がｎつ。

でかい三角形の面積=底辺×底辺×(1/2)=n\cdot n\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{n^2}{2}

で

真っ二つにされた正方形の面積×n=正方形の面積(1/2)×n=1\cdot 1\cdot \dfrac{1}{2} \cdot n=\dfrac{n}{2}

S(n)=でかい三角形の面積+真っ二つにされた正方形の面積×n

=\dfrac{n}{2}+\dfrac{n^2}{2}

=\dfrac{1}{2}n(n+1)

証明終。

中学生２年生のときに思いついた。最初はとにかく数字を並べて規則性を見つけて、その時は数学的帰納法なんて知らし故、ろくに証明をせずに満足していました。しかし、その一年後くらい中学二年生のある日、証明してなくね、と思い、考えなおしたらこの方法を思いつきました。

面白いですよね。S_3の時もあるのかいつか考えようかと思っていますが、三次元を考えるのはちょいと辛いので、考えないかもしれないです。