不思議かもしれない式。

幾何学の話ではありません。許してください。みつけつけたから書きたくなってしまったのです。

今から例を挙げます。みんな電卓用意。本当にその値になるか確かめましょう。

※式１。

$2\sqrt{3}\cos10^\circ=\sqrt{9+\dfrac{9}{\sqrt{9+\dfrac{9}{\sqrt{9+\frac{9}{\sqrt{\ddots}}}}}}}$

三倍角の公式使えばざっくり示せます。

※式２。

nは正。

$n=\sqrt{(n^2-b)+\dfrac{bn}{\sqrt{(n^2-b)+\dfrac{bn}{\sqrt{(n^2-b)+\dfrac{bn}{\sqrt{\ddots}}}}}}}$

bは、大抵の数字を入れて大丈夫なはず。

bは好きな数字を入れて大丈夫ですが、０に近い数字の方が実際に計算したときに収束が早いです。

※式３。

$\sqrt{n}+1=\sqrt{(n+3)+\dfrac{2(n-1)}{\sqrt{(n+3)+\dfrac{2(n-1)}{\sqrt{(n+3)+\frac{2(n-1)}{\sqrt{\ddots}}}}}}}$

これは結構面白いかもしれません。

√(n)+1で中々愉快な式変形を行います。

\begin{align}
\sqrt{n}+1 &= \sqrt{(\sqrt{n}+1)^2}\\
&=\sqrt{n+1+2\sqrt{n}} \\
&=\sqrt{n+1+2-2+2\sqrt{n}} \\
&=\sqrt{(n+3)+2(\sqrt{n}-1)} \\
&=\sqrt{(n+3)+\dfrac{2}{\frac{1}{\sqrt{n}-1}}} \\
&=\sqrt{(n+3)+\dfrac{2}{\frac{\sqrt{n}+1}{n-1}}} \\
&=\sqrt{(n+3)+\dfrac{2(n-1)}{\sqrt{n}+1}} \\
\end{align}

あとは左の√(n)+1を右の√(n)+1に無限に代入するだけ。

2足して2引くところなんかもう、しびれちゃうね。

そして、n+3=2(n-1)の解、n=5を代入すると、

※式４。

$\sqrt{5}+1=\sqrt{8+\dfrac{8}{\sqrt{8+\dfrac{8}{\sqrt{8+\frac{8}{\sqrt{\ddots}}}}}}}$