三角関数の加法定理

これである。え？これあだけに有りまじ、という方もいらっしゃると思います。しかし私は面倒なのでこれだけしか書きません。

え？幾何学に関係ありまじという人もいらっしゃると思います。幾何学を使って証明するので書きます。

証明

三角形ABCで、∠A=α、角B=β、AB=c、CA=x、CB=yとする。

このときx、yをα、β、cを使って表したい。

第一余弦定理より

c = x cosα + y cosβ ...①

又、

x sinα =y sinβ ...②

が成り立つ。

①にsinβを掛け、②にcosβを掛けると、

①... c sinβ = x cosα sinβ + y cosβ sinβ

②... x sinα cosβ =y sinβ cosβ

y sinβ cosβが共通してあるので、代入する。

c sinβ = x cosα sinβ + x sinα cosβ

x (sinα cosβ + cosα sinβ) = c sinβ

...③

∠C=π-(α+β)であることに気を付けると、正弦定理によれば、

...④

③④でxが等しいので

両辺をc sinβで割って、逆数を取ると、

まぁザックリこんな感じのはずである。

実際はα+β<180°、α>0°、β>0°、で全然一般角に対して使えないので、これは観賞用として眺めておいて下さい。

これは、私が中学生の時に見つけたのかな。高校一年生かな。記憶があまりなくて、すみません。