３点が同一直線上に - お幾何のお話

3点P,O,QでPO+OQ=PQのときこの3点は同一直線上にある。

自明っぽいけどもやりたくなったので証明してみる。

証明

平面の直交座標で点P(a,b),点O(0,0),点Q(c,d)をとる。

この時直線PO;bx=ayと直線OQ;dx=cyが一致すればよいので

b:a=d:c

ad=bcを目指す。

この時、

$PO=\sqrt{a^2+b^2}$

$OQ=\sqrt{c^2+d^2}$

$PQ=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$

これより

PO+OQ=PQ

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$

$a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}=a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd$

4(a²+b²)(c²+d²)=(-2ac-2bd)²

(a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²

(※コーシー・シュワルツの不等式より

$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

ad=bc

とカッコつけて計算を少し省略することができなくもないが、一応知らない人の為に普通の計算もしておく。)

a²c²+a²d²+b²c²+b²d²=a²c²+b²d²+2abcd

a²d²+b²c²-2abcd=0

(ad-bc)²=0

±ad∓bc=0

±ad=±bc

ad=bc

(複合同順)

これは示されるべきことであった。

トレミーの定理の逆を証明するときにこの定理を使っていたので、一応証明していました。先にも言った通り自明っぽいので証明する必要はないような気がしないでもないですが、1+1=2とはどういうことかを説明している人がいるくらいですから、いいでしょう。