ピタゴラスの定理
直角三角形の斜辺をc、他の二辺をa、bとすると、
青+黄=緑
ピタゴラスさんが見つけたという話であるが、どうにも信憑性は薄い。
でも定理なんて有名になったもん勝ちなので私は別になんでも構わないが、最初に見つけた人は恐らく悔しからむ。
中学生のときに独自に証明して、あまりに嬉しかったもんだから先生に見せに行った記憶があります。反応はいまいちでしたが。
証明
直径ABの半円で、線分ABの垂直二等分線とABとの交点をO、弧ABとの交点をMとする。弧AM上に点Pを取りABに下した垂線の足をH。
ここで、PH=a、OH=b、OP=OA=OB=cとおく。△PHOに注目する。
△ABPと△APHで
∠PAH=∠HAP(共通)・・・①
①②より二組の角が各等しいので
△ABP∽△APH・・・③
同様に
△ABP∽△PBH・・・④
③④より、
△APH∽△PBH
よって
AH:HP=PH:HB
OA-OH:HP=PH:OH+OB
c-b:a=a:c+b
a×a=(c-b)(c+b)
a²=c²-b²
a²+b²=c²
これは示されるべきことであった。
これを見つけたときはそれはそれは嬉しかった。何が嬉しいって±の因数分解のあの式が出てきてくれたことが嬉しい。一目この式を見たときに、なんかピタゴラスの定理に似ているなって思ったんです。まさか本当に関係があるとは。
逆
いままで逆が成り立つという話は聞いたことがありましたが証明に挑戦したことはありませんでした。やってみたら意外と簡単にできた(ようなきがする)ので下に記す。
証明
座標で解く。
原点をO(0,0)、A(-c,0)、B(c,0)を置く。次にPA²+PB²=AB²となるようにP(a,b)を置く。
PA²=(a-(-c))²+b²=a²+c²+2ab+b²
PB²=(a-c)²+b²=a²+c²-2ac+b²
AB²=(c-(-c))²=4c²
仮定より
PA²+PB²=AB²
a²+c²+2ab+b²+a²+c²-2ac+b²=4c²
2a²+2b²=2c²
a²+b²=c²=OP²
よって
OA=OB=OP
又、
∠AOB=180°
つまりPの軌跡はABを直径とする円である。
タレスの定理より、
∠APB=90°
これは示されるべきことであった。
あっているかどうか心配です。
