ヤコビの定理 - お幾何のお話

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何か、いい感じに角度をとると交わる。色の同じ角は同じです。

証明

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BK=x,CH=a sinB,BH=a cosB,OP=h,BP=y,とおける。xを求めたい。

CH//OPなので△CHK∽△OPKより、

CH:OP=KH:KP

a sinB:h=x-a cosB:y-x

xh-ah cosB=ay sinB-ax sinB

xh+ax sinB=ah cosB+ay sinB

$x = \displaystyle \frac{ah \cos{B} + ay \sin{B}}{h + a \sin{B}}$

$\frac{AK}{KB}$ を求めたい。b cosA=c-a cosB、b sinA=a sinB であることに気を付けて、

\begin{align}
& \displaystyle \frac{AK}{KB} = \displaystyle \frac{c-x}{x} = \displaystyle \frac{c}{x} -1 \\
&= \displaystyle \frac{ch + ca \sin{B}}{ah \cos{B} + ay \sin{B}} - 1 \\
&= \displaystyle \frac{ch + ca \sin{B} - ah \cos{B} - ay \sin{B}}{ah \cos{B} + ay \sin{B}} \\
&= \displaystyle \frac{h(c - a \cos{B}) + (c-h)a \sin{B} }{ah \cos{B} + ay \sin{B}} \\
&= \displaystyle \frac{bh \cos{A}+ (c-h)b \sin{A}}{ah \cos{B} + ay \sin{B}} \\
&= \displaystyle \frac{b}{a} \displaystyle \frac{\cos{A} + \frac{c-y}{h} \sin{A}}{\cos{B} + \frac{y}{h} \sin{B}}
\end{align}

$\frac{h}{c-y}=\tan{\alpha}$

$\frac{h}{y}=\tan{\beta}$ であるから、

$\displaystyle \frac{b}{a} \displaystyle \frac{\cos{A} + \frac{c-y}{h} \sin{A}}{\cos{B} + \frac{y}{h} \sin{B}}=\displaystyle \frac{b}{a} \displaystyle \frac{\cos{A} + \frac{\sin A}{\tan \alpha} }{\cos{B} + \frac{\sin B}{\tan \beta}}$

なので、

$\displaystyle\frac{AK}{KB}=\displaystyle \frac{b}{a} \displaystyle \frac{\cos{A} + \frac{\sin A}{\tan \alpha} }{\cos{B} + \frac{\sin B}{\tan \beta}}$

ま、こんなノリである。

図が見づらくてすみません。この証明は場合分けが必要な気がしますので、証明終とはしないでおく。

この証明面白くないですか。謎の文字、h,yが出てきたのにいつの間にか文字にα、βに変わっているのすよ。いや、計算していて大分驚きました。始めはこんな途中式がくると思わなかったもんだからさ、最初証明するのに座標つかってゴリゴリ計算して証明してやりました。あれなら完全な証明になるけどもね、面白い証明でないし、載せるのが面倒なので、載せません。

この点はキーペルト双曲線を含む。そのうえ、いろんな点を含むので、探してみて下さい。

文献

en.wikipedia.org