Σk^2 - お幾何のお話

$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^{2}=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

これを幾何学を使って証明したい。
各辺の大きさ1の立方体を図の様に積んでいく。
本当はn番目の図で考えたいが図を描くのも考えるのも面倒なのでn=3の場合の図で考え、n番目でも同様に考えられるか確認する。
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この図の体積は $\sum_{k=1}^3 k^{2}$ の値と等しい。なぜなら上から高さ1,底面の面積がk^2の直方体を積み重ねているからである。
これでnの場合を考える。

証明
底面の面積が(n+1)^2、高さn+1の四角錐をかぶせる。
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ここからいらない部分を引いていく。
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いらない部分は図のように分割できる。
橙の部分の体積は底面の面積1、高さ1の四角錐がn+1個あるので
$((1^{2}\times1\times\dfrac{1}{3})(n+1)=\dfrac{1}{3}(n+1)$
赤の部分の体積は底面の体積が1/2、高さが1の三角柱が $\sum_{k=1}^n k$ 個ありこれが左右両側にあるので
$2\left ( \dfrac{1}{2}\times1 \right )\times \displaystyle\sum_{k=1}^n k$
$=\dfrac{1}{2}n(n+1)$
よって青の体積は
$\dfrac{1}{3}(n+1)^{3}-\dfrac{1}{3}(n+1)-\dfrac{1}{2}n(n+1)$
$=\dfrac{1}{6}(n+1)(2(n+1)^2-2-3n)$
$=\dfrac{1}{6}(n+1)(2n^{2}+n)$
$=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$